万年筆も筆記用具のひとつなので「必ず万年筆を使わなければならない」という場面は皆無だと思います。普段さまざまな字を記載するシーンはあるかと思いますがそれは個人個人が使いやすい筆記用具（ボールペンやシャープペンシル等）を使えば問題はないです。
ただ万年筆が唯一この場面で必要であるというシーンはあります。それは条約等の締結書にサインをする時です。流石にこの締結書だけはボールペンやシャープペンシルと言う訳には行かないしサイン＝条約を締結したことに同意すると言う意味になるのでこの場面だけは万年筆の出番となります。
「それだけだったら万年筆の必要がないのでは？」と思いますが管理人の私のように日々の事を日記に書く時あるいは手帳に予定等を書き込むなど、自分がこのシーンで使いたい時に使うのが一番だと思います。